引言
编号为-3，-2，-1，0，1，2，3的整数中有些是偶数，有些是奇数。学习中，我们常常遇到像这样的问题，需要我们分类讨论，合理处理。函数也有奇数函数和偶数函数之分，本文将向大家介绍奇偶性函数的概念与性质，使大家对它们有更深入的认识。
奇偶性函数的概念
首先，我们需要了解函数的对称性概念。偶函数就是在 y 轴对称的函数，也就是满足 $f(-x)=f(x)$ 的函数。例如，$f(x)=x^2$ 就是一个典型的偶函数，因为 $f(-x)=(?x)^2=x^2=f(x)$。
与之相反，奇函数是在原点对称的函数，即满足 $f(-x)=-f(x)$ 的函数。例如，$f(x)=x^3$ 就是一个典型的奇函数，因为 $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$。
有些函数即不是偶函数也不是奇函数，我们称它们为“既非偶函数又非奇函数”或“偶奇函数”。例如，$f(x)=x^2+1$ 既不是奇函数，也不是偶函数。这是因为当我们把它代入函数的奇偶性定义时得到的结果既不是 $f(x)$ 等于 $f(?x)$，也不是 $f(x)$ 等于$ ?f(?x)$。
奇偶性函数的判断方法
奇偶性函数的判断方法可以是利用基本初等函数的性质来进行推导。下面列举几个注意点：
若 $f(x)$ 可以表示为基本初等函数的和、积、商、复合函数，则它的奇偶性可以根据各个因子奇偶性的乘积来判断。
若函数 $f(x)$ 的图形关于 $y$ 轴对称，则 $f(x)$ 是偶函数。
若函数 $f(x)$ 的图形关于原点对称，则 $f(x)$ 是奇函数。
奇偶性函数的性质
奇偶性函数也遵从许多实用的性质。
若函数 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(x)$ 一定非常平滑，即它在定义域的任意一点 $x$ 上的导数存在且连续。
若函数 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(x)$ 在定义域的 $0$ 点处的截距 $f(0)$ 一定为 $0$。
若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为偶函数，则 $f(x)\pm g(x)$ 也是偶函数；若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为奇函数，则 $f(x)\pm g(x)$ 是奇函数。
若 $f(x)$ 为偶函数，$g(x)$ 为奇函数，则 $f(x)g(x)$ 是奇函数。
若 $f(x)$ 为偶函数，$g(x)$ 为任一函数，则 $f(x)g(x)$ 为偶函数。
应用举例
最常用到函数的奇偶性质应该是解决一些高中同学们的数学题目。下面列举一些例子：
有一奇函数 $f(x)$，则 $f(2)-f(1)$ 的值是奇偶数：若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(x)+f(-x)$ 为偶函数，则 $f(2)-f(1)=f(2)+f(?2)-f(1)?f(?1)$ 为偶数；若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(x)-f(?x)$ 为奇函数，则 $f(2)?f(1)=f(2)?f(?2)?(f(1)?f(?1))$ 为奇数。
已知 $f(x)$ 是一个偶函数，定义 $g(x)=\frac{(1+x^2)f(x^2-1)}{x}$，则 $g(x)$ 是一个什么性质的函数？
由于 $f(x)$ 是偶函数，则：$f(x)=f(?x)$，即：$f(x^2?1) = f(?(x^2?1))$。
因此，$g(?x) = \frac{(1+x^2)f(x^2?1)}{?x}$，由此得到 $g(x) = -g(?x)$，即 $g(x)$ 为奇函数。
总结
奇偶性函数在数学上的应用非常广泛，尤其是在高中阶段。它通过对函数关于 $y$ 轴或者原点的对称性质，将函数分成奇函数和偶函数两类。它们的性质和判定方法非常清晰，有助于解决一些复杂的函数问题。因此，对于数学学习者而言，学习奇偶性函数的知识是非常有必要的。